如图.在平面直角坐标系内.已知点A.动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动.同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动.设点P.Q移动的时间为t秒．(1)当t为何值时.△APQ与△AOB相似?(2)当t为何值时.△APQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位?(3)△APQ的面积是否有极值?若有.求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

5．

如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（2）当t为何值时，△APQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位？
（3）△APQ的面积是否有极值（最大值或有最小值）？若有，求出当t等于多少时有极值并求出这个极值；若没有，说明理由．

分析（1）由于△APQ与△AOB对应关系不确定，需分情况讨论，可分两种情况（△APQ∽△AOB或△APQ∽△ABO）讨论，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）过点Q作QH⊥AO于H，如图所示，易证△AHQ∽△AOB，根据相似三角形的性质可用t的代数式表示出QH，从而得到△APQ的面积与t的关系，根据条件就可求出t的值；
（3）先用配方法将△APQ的面积与t函数关系式转化为二次函数的顶点式，然后利用二次函数的最值性就可解决问题．

解答解：（1）由题可得AP=t，BQ=2t．
∵A（0，6）、B（8，0），∴OA=6，OB=8．
∵∠AOB=90°，AB=10．
①若△APQ∽△AOB，则$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得：t=$\frac{30}{11}$．
②若△APQ∽△ABO，则$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得：t=$\frac{50}{13}$，
综上所述：当t=$\frac{30}{11}$秒或$\frac{50}{13}$秒时，△APQ与△AOB相似；

（2）过点Q作QH⊥AO于H，如图所示，
则有∠AHQ=∠AOB=90°．
又∵∠HAQ=∠OAB，∴△AHQ∽△AOB，
∴$\frac{QH}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴$\frac{QH}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴QH=$\frac{40-8t}{5}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\frac{40-8t}{5}$=$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$．
当S_△APQ=$\frac{24}{5}$时，$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$=$\frac{24}{5}$，
解得：t₁=2，t₂=3．
∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位；

（3）由（2）得：当0＜t＜5时，S_△APQ=$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$
=-$\frac{4}{5}$（t²-5t）=-$\frac{4}{5}$[（t-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{25}{4}$]=-$\frac{4}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+5．
∵-$\frac{4}{5}$＜0，∴当t=$\frac{5}{2}$时，S_△APQ取最大值，最大值为5．

点评本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值性等知识，运用分类讨论的思想是解决第（1）小题的关键，运用配方法是解决第（3）小题的关键．

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