Question

（满分11分）
如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．

（1）证明：△ABG △ADE ；
（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；
（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜BAE ＜180°），设△ABE的面积为，△ADG的面积为，判断与的大小关系，并给予证明．

Answer 1

略

（1）证法一：
证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中
∠GAE=∠BAD=90°              ……1分
∠GAE+∠EAB=∠BAD+EAB 
即∠GAB=∠EAD                  ……2分
又AG="AE " AB="AD"
∴△ABG≌△ADE                   ……4分
证法二：
证明：因为四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，所以∠GAE=∠BAD=90°，AG=AE，AB=AD，所以△EAD可以看成是△GAB逆时针旋转90°得到，
所以△ABG≌△ADE
（2）证法一：
我猜想∠BHD=90°理由如下：
∵△ABG≌△ADE  ∴∠1=∠2     ……5分
而∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4
∵∠2+∠4="90  " ∠1+∠3=90°   ……6分
∴∠BHD=90°                  ……7分
证法二：
我猜想∠BHD=90°理由如下：
由（1）证法(二)可知△EAD可以看成是△GAB逆时针旋转90°得到，BG与DE是一组对应边，
所以BG⊥DE，即∠BHD=90°
（3）证法一：
当正方形ABCD绕点A逆时针旋转
0°＜∠BAE＜180°时,S1和S2总保持相等．  ……8分
证明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三种情况：
①当0°＜∠BAE＜90°时 （如图10）
过点B作BM⊥直线AE于点M，
过点D作DN⊥直线AG于点N．

∵∠MAN=∠BAD=90°
∴∠MAB=∠NAD
又∠AMB=∠AND=90° AB=AD
∴△AMB≌△AND 
∴BM="DN   " 又AE=AG
∴
∴           ……９分
②当∠BAE=90°时 如图10（）
∵AE="AG " ∠BAE =∠DAG =90°AB=AD
∴△ABE≌△ADG

∴　　　　 ……１０分
③当90°＜∠BAE＜180°时 如图10（b）
和①一样；同理可证
综上所述，在（3）的条件下，总有． ……11分
证法二：
①当0°＜∠BAE＜90°时，如图10(c)
作EM⊥AB于点M，作GN⊥AD交DA延长线于点N，

则∠GNA=∠EMA=90°
又∵四边形ABCD与
四边形AEFG都是正方形，
∴AG=AE，AB=AD
∴∠GAN+∠EAN=90°，
∠EAM+∠EAN=90°
∴∠GAN=∠EAM
∴△GAN≌△EAM（AAS）∴GN=EM



∴
②③同证法一类似
证法三：
当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0°＜∠BAE＜180°时,S1和S2总保持相等． ……8分       

证明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三种情况：
①当0°＜∠BAE＜90°时　如图10（d）
延长GA至M使AM=AG，连接DM，则有

∵AE=AG=AM，AB=AD
又∠1+∠2=90°
∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△ABE≌△ADM （SAS）
∴
∴　　　　　　　　　　　……９分
②当∠BAE=90°时 （同证法一）　……10分
③当90°＜∠BAE＜180°时如图10（e）和①一样；
同理可证
综上所述，在（3）的条件下，总有  ……11分

证法四：
当0°＜∠BAE＜90°时如图10（f）延长DA至M使AM=AD，连接GM，

则有
再通过证明
△ABE与△AMG全等从而证出　②③同证法一类似
证法五：
（这种证法用三角函数知识证明，无须分类证明）
如图10(g)四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，

∴AG=AE，AB=AD
当∠BAE=时，∠GAD=180°-则
sin(180°-)=sin

即
∴