Question

3．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x=1，与y轴的交点为c（0，4），y的最大值为5，顶点为M，过点D（0，1）且平行于x轴的直线与抛物线交于点A，B．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式和点A、B的坐标；
（Ⅱ）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，求出所有点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y=a（x-1）²+5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；
（Ⅱ）先计算出CD=3，BD=1，AM=2$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，则利用勾股定理的逆定理得到△ACM为直角三角形，∠ACM=90°，则可判断△ACM∽△CDB，由此可判断P点坐标为（0，3），如图1；接着求出直线AM的解析式为y=-2x+7，直线AC的解析式为y=-x+4，作PM⊥AC于P，如图2，易得Rt△AMP∽Rt△CDB，然后利用两直线垂直的关系可求出直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，从而可确定P点坐标为（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$），

解答 解：（Ⅰ）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+5，
把C（0，4）代入y=a（x-1）²+5得a+5=4，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x-1）²+5，即y=-x²+2x+4；
当y=1时，-x²+2x+4=1，解得x₁=-1，x₂=3，则B（-1，1），A（3，1）；
（Ⅱ）CD=3，BD=1，AM=$\sqrt{（1-3）^{2}+（5-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{{3}^{2}+（4-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵CM²+AC²=AM²，
∴△ACM为直角三角形，∠ACM=90°，
∵$\frac{CM}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，$\frac{AC}{CD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CM}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$，
而∠ACM=∠CDB，
∴△ACM∽△CDB，
∴点P在C点时，满足条件，此时P点坐标为（0，3），如图1；
作PM⊥AC于P，如图2，
∵△ACM∽△CDB，
∴∠MAC=∠DCB，
作PM⊥AC于P，如图2，
∴Rt△AMP∽Rt△CDB，
设直线AM的解析式为y=kx+b，
把M（1，5），A（3，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
直线AM的解析式为y=-2x+7，
同样可得直线AC的解析式为y=-x+4，
作PM⊥AC于P，如图1，设直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+p，
把M（1，5）代入得$\frac{1}{2}$+p=5，解得p=$\frac{9}{2}$，
∴直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$）

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．