Question

11．（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：
①如图2，点M、N在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；
②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．

Answer 1

分析 （1）先判断出CG∥DH，再利用三角形ABC和三角形ABD的面积相等，得出CG=DH即可得出结论；
（2）①先求出三角形EFM的面积，再求出三角形EFN的面积，即可得出三角形EFM和三角形EFN的面积相等，最后利用（1）的结论得出MN∥EF；
②利用（1）的结论即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点C作⊥AB于G，过点D作DH⊥AB于H，
∴∠CGA=∠DHB=90°，
∴CG∥DH，
∵△ABC和△ABD的面积相等，
∴CG=DH，
∴四边形CGHD是平行四边形；

（2）①如图2，连接MF，NE，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵点M，N在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S_△EFM=$\frac{1}{2}$x₁•x₂=$\frac{1}{2}$k，S_△EFN=$\frac{1}{2}$x₂y₂=$\frac{1}{2}$k，
∴S_△EFM=S_△EFN，
由（1）中的结论可知，MN∥EF；

②MN∥EF，理由：如图3，由（1）中的结论可知，MN∥EF．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是作出辅助线，判断出S_△EFM=S_△EFN，是一道中等难度的中考常考题．