Question

如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE是中线，AD与BE交于点M．
（1）猜想线段AM与DM的数量关系，并证明．
（2）请你写出（1）证明过程中所用到的两条定理的详细内容．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：常规题型

分析：（1）先根据等边三角形的性质得到BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°，再根据等腰三角形的“三线合一”，由AD⊥BC，BE是中线得到∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，根据等腰三角形的判定得AM=BM，然后在Rt△BDM中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BM=2DM，于是有AM=2DM；
（2）可写出等腰三角形的性质定理和含30度的直角三角形的性质．

解答：解：（1）AM=2DM．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD⊥BC，BE是中线，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，
∴AM=BM，
在Rt△BDM中，∵∠DBM=30°，
∴BM=2DM，
∴AM=2DM；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．