Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90o，BE是它的角平分线，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．

（1）试说明：AC是圆O的切线；

（2）若∠A=30o，圆O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为π．

【解析】

（1）由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由BE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OE与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到OE⊥AC，即可得证；

（2）由∠A的度数求出∠AOE度数，利用30°直角三角形的性质求出OA的长，利用勾股定理求出AE的长，阴影部分面积=直角三角形AOE面积-扇形OED面积，求出即可．

解：（1）∵OB=OE，

∴∠BEO=∠EBO，

∵BE平分∠CBO，

∴∠EBO=∠CBE，

∴∠BEO=∠CBE，

∴EO∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠AEO=∠C=90°，

则AC是圆O的切线；

（2）在Rt△AEO中，∠A=30°，OE=4，

∴OA=2OE=8，∠AOE=60°，

根据勾股定理得：AE=

则S阴影=S△AOE-S扇形EOD=