Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点D（2，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC，CD，BC， 其且AC=5．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图②，点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．当0<m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值；

（3）当-1<m≤2时，是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）当m=时，S最大，即S最大=2；（3）2或

【解析】

（1）先通过勾股定理求的点A的坐标，把A、C、D三点坐标代入即可求得抛物线的解析式；

（2）由A、C坐标可求得直线AC解析式，再用m表示出点M坐标，表示出ME，再由△BCO∽△GME可表示出GE，求得OG，再利用面积的和差可得到△GMC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）分∠CPM＝90°和∠PCM＝90°两种情况，当∠CPM＝90°时，可得PC∥x轴，容易求得P点坐标和m的值；当∠PCM＝90°时，设PC交x轴于点F，可利用相似三角形的性质先求得F点坐标，可求得直线CF的解析式，再联立抛物线解析式可求得P点坐标和相应的m的值．

解（1）∵点C（0，4），

∴OC＝4，

∵AC＝5，

∴在Rt△AOC中，∠AOC＝90°

OA＝

∴ A（3，0）

将A（3，0）、C（0，4）D（2，4）代入抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中

得 ，

解得，

∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4；

（2）由A（3，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝－x＋4，

∴M坐标为（m，－m＋4），

∵MG∥BC，

∴∠CBO＝∠MGE，且∠COB＝∠MEG＝90°，

∴△BCO∽△GME，

∴，即，

∴GE＝－m＋1，

∴OG＝OE－GE＝m－1

∴

，

∴当m＝时，S最大，即S最大＝2；

（3）根据题意可知△AEM是直角三角形，而△MPC中，∠PMC＝∠AME为锐角，

∴△PCM的直角顶点可能是P或C，

第一种情况：当∠CMPM＝90°时，如图，

则CP∥x轴，此时点P与点D重合，

∴点P（2，4），此时m＝2；

第二种情况：当∠PCM＝90°时，如图，

如图，延长PC交x轴于点F，由△FCA∽△COA，得，

∴AF＝，

∴OF＝，

∴F（－，0），

∴直线CF的解析式为y＝x＋4，

联立直线CF和抛物线解析式可得，

解得，，

∴P坐标为（，），此时m＝；

综上可知存在满足条件的实数m，其值为2或