Question

如图，有一边长为5的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B，C，Q，R在同一条直线m上，当C，Q两点重合时，等腰△PQR以每秒1cm的速度沿直线m按箭头所示的方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD和等腰△PQR重合部分的面积为Scm
（1）当t=3秒时，设PQ与CD相交于点F，点E为QR的中点，连结PE，求证：△QCF∽△QEP；
（2）当t=6秒时，求S的值（3）当8≤t≤13，求s关于t的函数解析式．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据PE⊥QR，得出FC∥PE，即可证出△QCF∽△QEP；
（2）当t=6秒时，先根据△QFB∽△QPE，△RCG∽△REP，求出S_△QFB、S_△RCG，最后根据S=S_△PRQ-S_△QFB-S_△RCG代入计算即可；
（3）分两种情况：当8≤t＜9时，根据QB：QE=（t-5）：4，△QFB∽△QPE，求出S_△QFB，再根据S=S_△PEQ-S_△QFB代入计算，当8＜t≤13时，根据RB：RE=（13-t）：4，△RFB∽△RPE，求出S_△RFB，再根据S=S_△RFB把所得结果进行整理即可．

解答：解：（1）如图1：
∵PQ=PR，点E为QR的中点，
∴PE⊥QR，
∴FC∥PE，
∴△QCF∽△QEP；

（2）如图2：
当t=6秒时，则CQ=6，
∴QB=1，CR=2，
∵QE=ER=4，
∴PE=3，QB：QE=1：4，RC：RE=2：4=1：2，
∴S_△PEQ=S_△PER=

1

2

S_△PQR=

1

2

×

1

2

×8×3=6，
∵△QFB∽△QPE，△RCG∽△REP，
∴S_△QFB：S_△QPE=1：16，S_△RCG：S_△REP=1：4
∴S_△QFB：6=1：16，S_△RCG：6=1：4，
∴S_△QFB=

3

8

，S_△RCG=

3

2

，
∴S=S_△PRQ-S_△QFB-S_△RCG=12-

3

8

-

3

2

=

81

8

；

（3）如图3：
当8≤t＜9时，
则QB：QE=（t-5）：4，
∵△QFB∽△QPE，
∴S_△QFB：S_△QPE=（t-5）²：16，
∴S_△QFB：6=（t-5）²：16，
∴S_△QFB=

3

8

（t-5）²，
∴S=S_△PEQ-S_△QFB=12-

3

8

（t-5）²=-

3

8

t²+

15

4

+

21

8

，
如图4：
当8＜t≤13时，
则RB：RE=（13-t）：4，
∵△RFB∽△RPE，
∴S_△RFB：S_△RPE=（13-t）²：16，
∴S_△RFB：6=（13-t）²：16，
∴S=S_△RFB=

3

8

（13-t）²=

3

8

t²-

39

4

+

507

8

．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、相似三角形的面积之比等于相似比的平方、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论思想的运用．