Question

7．已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD交BC于E，求证：BD=AE+DE．（提示：过点A作BC的垂线交BD于H）

Answer 1

分析 过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，推出CM∥AB，推出∠MCE=∠ABC=∠ACB，求出∠ABD=∠CAM，证△ABD≌△CAM，推出∠ADB=∠M，AD=CM=AD，证△CDE≌△CME，于是得到DE=EM，于是问题即可得证．

解答 证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，
则∠ACM=90°=∠BAC，
∴CM∥AB，
∴∠MCE=∠ABC=∠ACB，
∵∠BAF=∠ADB，∠ADB+∠FAD=90°，∠ABD+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAM，
在△ABD和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠ACM}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠CAM}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAM（ASA），
∴∠ADB=∠M，AD=CM，BD=AM，
∵D为AC中点，
∴AD=DC=CM，
在△CDE和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CM}\\{∠DCEC=∠MCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CME（SAS），
∴ME=DE，
∵AM=AE+ME=AE+DE，
∴BD=AE+DE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，