Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c，
（1）若a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（2）若a+b+c=0，且当x=0时，对应的y＞0；当x=1时，对应的y＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）将a、b的值代入已知函数解析式即可求得该抛物线的解析式．根据已知条件“当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点”来求方程3x²+2x+c=0 判别式△=4-12c≥0，有c≤

1

3

．
（2）当x=0时，对应的y＞0，可以推知c＞0． ①；
当x=1时，对应的y＞0，可以推知3a+2b+c＞0，②
结合已知条件a+b+c=0，③，由①②③求得a＞c＞0．
然后结合关于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，证得结论．

解答：解：（1）当a=b=1时，抛物线为y=3x²+2x+c，且与x轴有公共点．
对于方程3x²+2x+c=0，判别式△=4-12c≥0，有c≤

1

3

．
①当c=

1

3

时，由方程3x2+2x+

1

3

=0，解得x1=x2=-

1

3

．
此时抛物线为y=3x2+2x+

1

3

与x轴只有一个公共点(-

1

3

，

0

．
②当c＜

1

3

时，x₁=-1时，y₁=3-2+c=1+c，x₂=1时，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=-

1

3

，
应有

y1≤0 y2＞0.

即

1+c≤0 5+c＞0.

解得-5＜c≤-1．
综上，c=

1

3

或-5＜c≤-1．

（2）在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．理由如下：
对于二次函数y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0时，y₁=c＞0；x₂=1时，y₂=3a+2b+c＞0，
又a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
于是2a+b＞0．而b=-a-c，∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0．
∵关于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax²+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．
又该抛物线的对称轴x=-

b

3a

，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得-2a＜b＜-a，∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又由已知x₁=0时，y₁＞0；x₂=1时，y₂＞0，观察图象，
可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．注意抛物线y=3ax²+2bx+c与关于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0间的关系．