Question

【题目】如图1，已知直线与轴，轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作且，连接.

(1)求点C的坐标.

(2)如图2，过点C作直线轴交AB于点D，交轴于点E，

请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择______题

A.①求线段CD的长.

②在坐标平面内，是否存在点M(除点B外)，使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由.

B.①如图3，在图2的基础上，过点D作于点F，求线段DF的长.

②在坐标平面内，是否存在点M(除点F外)，使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)C(-4，1)；(2)A：①；②；B：①；②

【解析】

(1)首先由直线解析式求得点A、B的坐标，再从点C向x轴作垂线，证明三角形全等，由此求得点C的坐标；（2）选择A时，①由轴，知点D的纵坐标，代入一次函数解析式即可求得横坐标，由此得到线段CD的长；②利用轴对称可得到点M的坐标；选择B时，①求出线段AC的长，再利用△ACD的面积就可求得DF的长度；②利用轴对称可得到点M的坐标

解：(1)在中，当时，，

点A的坐标为(

在中，当时，，

∴点B的坐标为，

过点C作轴于点H，则

点C在第二象限，

点C的坐标为

(2)A.①由(1)知点C的坐标为，

轴交AB于点D，点D的纵坐标为1，

将代入得，

点D的坐标为，

②存在

当点M1与点B关于直线CD对称时，得点M1坐标为（-1,2）；

当点M2与点B关于CD的垂直平分线对称时，得点M2坐标为；

当点M3与点点M2关于直线CD对称时，得点M3坐标为

综上，当满足时，以点M，C，D为顶点的三角形与全等

B.①由(1)知点C的坐标为，

轴交AB于点D，交轴于点E，

点D的纵坐标为1，

将代入得

点D的坐标为，

在中，，

由勾股定理得,

∴

②存在

在Rt△CDF中，由勾股定理得

∵

∴

即点F为线段AC靠近点A的一个三等分点，∴F(

当点M1与点F关于直线CD对称时，点M1坐标为

当点M2与点F关于线段CD的垂直平分线对称时，点M2坐标为；

当点M3与点F关于直线CD对称时，点M3坐标为

综上，当满足时，以点M，C，D为顶点的三角形与全等