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已知对任意正整数n都有a1+a2+a3+…+an=n3,则
1
a2-1
+
1
a3-1
+
1
a4-1
+…+
1
a2011-1
=
 
分析:首先由a1+a2+a3+…+an=n3,求得a2、a3、a4与a5的值,观察得到规律为:an=3n(n-1)+1,即可求得a2011的值,代入
1
a2-1
+
1
a3-1
+
1
a4-1
+…+
1
a2011-1
,再提取公因式
1
3
,由
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,即可求得结果.
解答:解:∵a1+a2+a3+…+an=n3
∴a1=1,a1+a2=8,a1+a2+a3=27,a1+a2+a3+a4=64,a1+a2+a3+a4+a5=125,
∴a2=7,a3=19,a4=37,a5=61,an=3n(n-1)+1,
∴a2011=3×2010×2011+1,
1
a2-1
+
1
a3-1
+
1
a4-1
+…+
1
a2011-1
=
1
6
+
1
18
+
1
36
+
1
60
+…+
1
3×2010×2011

=
1
3
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+…+
1
2010×2011
),
=
1
3
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+…+
1
2010
-
1
2011
),
=
1
3
(1-
1
2011
),
=
670
2011

故答案为:
670
2011
点评:此题考查了规律性问题,考查了学生的观察归纳能力.注意此题找到规律an=3n(n-1)+1与
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
是解题的关键.
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科目:初中数学 来源: 题型:

已知对任意正整数n,都有a1+a2+…+an=n3,则
1
a2-1
+
1
a3-1
+
1
a4-1
+…+
1
a2008-1
=
2007
6024
2007
6024

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

已知对任意正整数n都有a1+a2+a3+…+an=n3,则
1
a2-1
+
1
a3-1
+
1
a4-1
+…+
1
a2011-1
=______.

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科目:初中数学 来源:2011年第7届“锐丰杯”初中数学邀请赛试卷(解析版) 题型:填空题

已知对任意正整数n都有a1+a2+a3+…+an=n3,则=   

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科目:初中数学 来源:2008年安徽省芜湖市一中高一自主招生考试数学试卷(解析版) 题型:填空题

已知对任意正整数n,都有a1+a2+…+an=n3,则+++…+=   

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