Question

张亮是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax²（a＞0）的性质时，将一把直角三角形的直角顶点平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=2

2

，（如图1），求a的值；
（2）对于同一条抛物线，张亮将三角板绕点O旋转到如图2位置时，过B作BD⊥x轴于点D，测得OD=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，张亮将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．
（3）设A（-m，

1

2

m²）（m＞0），B（n，

1

2

n²）（n＞0），易知△ACO∽△ODP，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，2）．

解答：解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2

2

，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，2），
将B（2，2）代入抛物线y=ax²（a＞0）得a=

1

2

；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，

1

2

），
∴BD=

1

2

．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△ODB，
∴

AE

OE

=

OD

BD

=2，
即AE=2OE，
设点A（-m，

1

2

m²）（m＞0），则OE=m，AE=

1

2

m²，
∴

1

2

m²=2m，
∴m=4，即点A的横坐标为-4．
（3）设A（-m，

1

2

m²）（m＞0），B（n，

1

2

n²）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则

-mk+b= 1 2 m2 nk+b= 1 2 n2

，
（1）×n+（2）×m得，（m+n）b=

1

2

（m²n+mn²）=

1

2

mn（m+n），
∴b=

1

2

mn，
又易知△AEO∽△ODB，
∴

AE

OD

=

OE

BD

，
∴

0.5m2

n

=

m

0.5n2

，
∴mn=4，
∴b=

1

2

×4=2，由此可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，2）．

点评：本题是对二次函数的综合考查，有等腰直角三角形的性质，坐标与图形的变化，相似三角形的判定与性质，旋转变换的性质，待定系数法求函数解析式，综合性较强，难度较大．