Question

已知抛物线y=ax²+（2-a）x-2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论：
①在a大于0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点；
②在a大于0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧；
③y的最小值不大于-2；
④若AB=AC，则a=

1+ 5

2

．
其中正确的结论有几个？请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：①利用抛物线两点式方程进行判断；
②根据根的判别式来确定a的取值范围，然后根据对称轴方程进行计算；
③利用顶点坐标公式进行解答；
④利用两点间的距离公式进行解答．

解答：解：①y=ax²+（2-a）x-2=（x-1）（ax+2）．则该抛物线恒过点A（1，0）．故①正确；
②∵y=ax²+（2-a）x-2（a＞0）的图象与x轴有2个交点，
∴△=（2-a）²+8a=（a+2）²＞0，
∴a≠2．
∴该抛物线的对称轴为：x=

a-2

2a

=

1

2

-

1

a

．无法判定的正负．
故②不一定正确；
③y_最小=

8a-(a-2)2

4a

=-

(a+2)2

4a

≤-

4×4a

4a

=-4，则y的最小值不大于-4．故③错误；
④∵A（1，0），B（-

2

a

，0），C（0，-2），
∴当AB=AC时，

(1+ 2 a )2

=

5

，
解得 a=

1+ 5

2

．故④正确．
综上所述，正确的结论有2个．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要熟悉抛物线的性质，题目也需要很好的计算能力．