Question

1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=2，cot∠ACB=$\frac{4}{3}$，梯形ABCD的面积是9；
（1）求AB的长；
（2）求tan∠ACD的值．

Answer 1

分析 （1）根据锐角三角函数设出边长，利用梯形的面积公式列方程即可；
（2）作DH⊥AC于H，利用三角形相似，列比例式求出DH=$\frac{6}{5}$，AH=$\frac{8}{5}$，CH=AC-AH=$\frac{17}{5}$，即可求出tan∠ACD=$\frac{DH}{CH}$=$\frac{6}{17}$．

解答 解：（1）在R_tABC中，cot∠ACB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
设BC=4k，AB=3k，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=$\frac{1}{2}$（2+4k）•3k=9，
∴k=1或k=-$\frac{3}{2}$（舍），
∴AB=3；

（2）作DH⊥AC于H，
∵AD∥BC，
∴∠DAH=∠ACB，
∴△ADH∽△CAB，
∴$\frac{DH}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{2}{5}$，
∴DH=$\frac{6}{5}$，AH=$\frac{8}{5}$，
∴CH=AC-AH=$\frac{17}{5}$，
∴tan∠ACD=$\frac{DH}{CH}$=$\frac{6}{17}$．

点评 本题考查了锐角三角函数，梯形的面积，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．