Question

【题目】如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D． 点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．

（1）求证：y轴是⊙G的切线；

（2）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；

（3）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）5，（1，4）；（3）

【解析】

（1）连接GD通过证明GD⊥OB即可得到y轴是⊙G的切线；
（2）由GD⊥OB得到GD∥OA，则△BDG∽△BOA，通过对应边的比即可求出半径r，根据相似可求出AE、CE的长，即可得到C点坐标；
（3）由于∠FEA=45°，所以可以连接CE、CF构造直角三角形．由于要求的EF是弦，所以过点A作AH⊥EF，然后利用垂径定理即可求出EF的长度．

解：（1）连接GD，

∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，
∴∠GAD=∠DAO，
∵GD=GA，
∴∠GDA=∠GAD，
∴∠GDA=∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG=∠BOA=90°，
∵GD为半径，
∴y轴是⊙G的切线；
（2）∵A（4，0），B（0，），
∴OA=4，OB=，
在Rt△AOB中， ，
设半径GD=r，则BG=，
由GD⊥OB得到GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴，
∴，
解得；

因此直径AC=10，

如图，连接CE，

由于AC为直径，因此CE⊥AE，

容易得到△ABO∽△ACE，

∴，

∴，

解得CE=4，AE=3，

∴OE=4-3=1，
∴C的坐标为（1，4）；
（3）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，

∵AC是直径，
∴，∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠FEA=45°，且∠FEA所对的弧为弧AF，
∴∠FCA=∠FEA =45°，

∴△ACF为等腰直角三角形，
∴AF=CF，

∵，

∴AF=CF=，
设OE=m
∴AE=4-m
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴

∴CE=
在直角三角形ACE中，CE2+AE2=AC2，
∴

∴a=1或a=7（不合题意，舍去）
∴AE=3
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可得，AH=EH=，
∴在Rt△AEH中，FH2=AF2-AH2=

∴FH=，
∴EF=EH+FH=．