Question

1．已知反比例函数y=$\frac{m-8}{x}$（m8≠8且m为常数）的图象经过点A（-1，6）．
（1）求m的值；
（2）求与反比例函数y=$\frac{m-8}{x}$（m≠8且m为常数）的图象仅有一个公共点A（-1，6）的直线的解析式；
（3）如图所示，过点A作直线AC与函数y=$\frac{m-8}{x}$的图象相交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m的一元一次方程，求出m的值；
（2）设直线解析式为为y=kx+b，把A（-1，6）求得b的值，得出y=kx+k+6，利用直线与反比例函数y=-$\frac{6}{x}$的图象仅有一个交点，由根的判别式求出k的值，即可求得直线的解析式．
（3）再分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，则△CBD∽△CAE，运用相似三角形知识求出CD的长即可求出点C的横坐标．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{m-8}{x}$（m8≠8且m为常数）的图象经过点A（-1，6），
∴m-8=-1×6，
∴m=2．
（2）设与反比例函数y=$\frac{m-8}{x}$（m≠8且m为常数）的图象仅有一个公共点A（-1，6）的直线的解析式为y=kx+b，
把A（-1，6）代入得，6=-kx+b，
∴b=k+6，
∴y=kx+k+6，
代入y=-$\frac{6}{x}$得，-$\frac{6}{x}$=kx+k+6，
整理得kx²+（k+6）x+6=0，
根据题意△=（k+6）²-4k×6=0，
解得k=6，
∴直线的解析式为y=6x+12；
（3）如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，
由题意得，AE=6，OE=1，
∵BD⊥x轴，AE⊥x轴，
∴AE∥BD，
∴△CBD∽△CAE，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{BD}{AE}$，
∵AB=2BC，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{BD}{6}$，
∴BD=2．
即点B的纵坐标为2．
∵B在反比例函数y=-$\frac{6}{x}$的图象上，
∴2=-$\frac{6}{x}$，
∴x=-3，
∵点A（-1，6），点B（-3，2）
∴直线AB的解析式为：y=2x+8，
∴C（-4，0）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，根据直线与反比例函数的图象仅有一个交点，由根的判别式求出是解题关键．