Question

19．已知二次函数y=a（x-m）²-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=25，求m的值；
（3）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把（x-m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；
（2）令y=0，利用因式分解法解方程求出x₁=m，x₂=m+1，根据x₁²+x₂²=25，代入得到关于m的方程，解方程即可求解；
（3）根据两点间的距离公式求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．

解答 （1）证明：令y=0，a（x-m）²-a（x-m）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）解：y=0，则a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得x₁=m，x₂=m+1，
∵x₁²+x₂²=25，
∴m²+（m+1）²=25，
解得m₁=-4，m₂=3．
故m的值为-4或3；

（3）解：∵x₁=m，x₂=m+1，
∴AB=（m+1）-m=1，
y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{a}{4}$，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×1×|-$\frac{a}{4}$|=1，
解得a=±8．
故a的值是±8．

点评 本题考查了二次函数综合题，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把（x-m）看作一个整体求解更加简便．