Question

10．如图，在正五边形ABCDE中，AB=2．
（1）如图1，将五边形ABCDE沿AD折叠，点E落在点E′处，连接BD
①填空：点E′与BD的位置关系是点E′在直线BD上；
②求BE′的长；
 （2）如图2，点F在AB边上，且AF＜$\frac{1}{2}$AB，沿DF折叠五边形ABCDE，点A，E的对应点分别为A′，E′，试猜想∠A′FB与∠E′DC有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，分别连接AD，BD，点P在线段AD上运动（点P不与淀粉A，D重合），点Q在线段DB的延长线上运动，且AP=BQ，连接PQ交AB于点N，过点P作PM⊥AB于点M，在点P，Q运动的过程中，判断并证明线段MN的长是否发生变化．

Answer 1

分析 （1）①利用正五边形的性质得出△DEA≌△DCB即可求出∠EDA=∠CDB=36°，进而即可得出结论；
②利用等腰三角形的性质得出AB=AE'=2，再判断出△ABE'∽△DBA，得出比例式求解即可得出结论；
（2）利用三角形的内角和和等腰三角形的性质即可求出∠CDE'=180°-2x=∠BFA'，即可得出结论；
（3）先判断出△PMA≌△QHB得出MH=2，再判断出△PMN≌△NQH即可得出结论．

解答 解：（1）①点E′在直线BD上；理由如下：∵ABCDE是正五边形，
∴∠EDC=108°=∠DCB 且DC=CB，
∴∠CDB=36°，
在△DEA和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}&{\;}\\{∠DEA=∠DCB}&{\;}\\{EA=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△DCB（SAS），
∴∠EDA=∠CDB=36°，
∴∠ADB=36°，
∴∠ADB=∠ADE'=36°，
∴B，D，E'共线，
即点E′在直线BD上；
故答案为：点E′在直线BD上；

②∵AD=BD，∠ADB=36°，
∴∠DAB=72°，
∵AE'=DE'．
∵AB=AE'=2，
∴DE'=2，
∴∠DAE=∠ADE'，
∴∠BAE'=∠ADB，
∵∠ABD=∠ABE'，
∴△ABE'∽△DBA，∴$\frac{AB}{DB}=\frac{BE′}{AB}$，
∴$\frac{2}{2+BE′}$=$\frac{BE′}{2}$，
∴BE'=$\sqrt{5}$-1；

（2）∵四边形内角和为360°，
设∠EDF=x，
∴∠AFD=144°-x=∠DFA'，
∴∠DFB=36°+x，
∴∠A'FB=108°-2x，
且∠CDE'=108°-2x，
∴∠CDE'=∠BFA'

（3）如图3，过点Q作QH⊥AB，
∵∠BAD=72°=∠DBA，
∴∠DAB=∠QBH且AP=BQ，∠AMP=∠BHQ
在△PMA和△QHB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMA=∠QHB}&{\;}\\{∠PAM=∠QBH}&{\;}\\{AP=BQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PMA≌△QHB（AAS），
∴AM=BH，PM=QH，
∴MH=MB+BH=AM+MB=AB=2，
在△PMN和△NQH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PNM=∠QNH}&{\;}\\{∠PMN=∠QHN}&{\;}\\{PM=QH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PMN≌△NQH（AAS），
∴MN=NH=1．

点评 此题是综合题目，考查了正五边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解（1）的关键是得出∠ADB=∠ADE'=36°和△ABE'∽△DBA，解（2）的关键是∠DFB=36°+x，解（3）的关键是得出MH=AB=2，是一道中等难度的中考常考题．