Question

19．如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；及顶点P的坐标；
（2）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点M从B点开始沿BO边向点O以每秒2个单位的速度运动，动点N从点O开始沿OC边向点C以每秒1个单位的速度运动，当点M到达O点时，点N也随之停止运动．在整个运动过程中，求：线段MN的中点所经过的路程长．

Answer 1

分析 （1）先利用直线解析式和坐标轴上点的坐标特征求出B（3，0），C（0，3），然后利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再把抛物线解析式配成顶点式即可得到顶点P的坐标；
（2）如图1，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（1，0），易得∠ABC=45°，BC=3$\sqrt{2}$，∠ABP=45°，PB=$\sqrt{2}$，即∠ABC=∠PBQ，根据相似三角形的判定方法，分类讨论：当$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$ 时，△ABC∽△PBQ，此时Q点坐标为（0，0）；当$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{BP}{BC}$ 时，△ABC∽△QBP，然后利用相似比分别求出BQ，从而得到Q点的坐标；
（3）如图，先确定0≤t≤$\frac{3}{2}$，再表示出M（（3-2t，0）N （0，t），根据线段中点坐标公式得到NM的中点D的坐标为（$\frac{3-2t}{2}$，$\frac{1}{2}$t），接着分析D点的横纵坐标的关系得到NM的中点D都在直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$上，然后确定D点运动的范围：当t=0时，D的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）；当t=$\frac{3}{2}$时，D点坐标为（0，$\frac{3}{4}$），于是得到线段MN的中点D所经过的路径为点（$\frac{3}{2}$，0）到点（0，$\frac{3}{4}$）之间的线段，所以根据勾股定理可计算出线段MN的中点所经过的路程长．

解答 解：（1）当y=0，-x+3=0，解得x=3，则B（3，0）；当x=0，y=-x+3=0，则C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）分别代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为P（2，-1），
（2）存在．
令y=x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，则A（1，0），
连接BP，如图1，
∵OB=OC=3，
∴∠ABC=45°，BC=3$\sqrt{2}$，
而P（2，-1），B（0，3），
∴∠ABP=45°，PB=$\sqrt{2}$，
∴∠ABC=∠PBQ，
∴当$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$ 时，△ABC∽△PBQ，即$\frac{BQ}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得BQ=3，则OQ=0，此时Q点坐标为（0，0）；
∴当$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{BP}{BC}$ 时，△ABC∽△QBP，即$\frac{BQ}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，解得BQ=$\frac{2}{3}$，则OQ=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$，此时Q点坐标为（$\frac{7}{3}$，0），
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（$\frac{7}{3}$，0）；
（3）如图2，∵OB=3，
∴0≤t≤$\frac{3}{2}$，
∵M（（3-2t，0），N （0，t），
∴NM的中点D的坐标为（$\frac{3-2t}{2}$，$\frac{1}{2}$t），
设x=$\frac{3-2t}{2}$，y=$\frac{1}{2}$t，
∴t=2y，
∴x=$\frac{3-4y}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，
∴NM的中点D都在直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$上，
当t=0时，D的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）；当t=$\frac{3}{2}$时，D点坐标为（0，$\frac{3}{4}$），
∵线段MN的中点D所经过的路径为点（$\frac{3}{2}$，0）到点（0，$\frac{3}{4}$）之间的线段，
∴线段MN的中点所经过的路程长=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定；理解坐标与图形性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理和相似比计算线段的长．