Question

11．如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．
（1）用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
（2）假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．

Answer 1

分析 （1）根据图形可知四边形ABCD是梯形，再根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，列式整理即可证明；
（2）取四个直角三角形，以斜边c为边长组成正方形，中间空出的是一个小正方形，然后利用大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，列式整理即可得证．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是梯形，
∴梯形的面积=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=2×$\frac{1}{2}$×ab+$\frac{1}{2}$c²，
即$\frac{1}{2}$（a²+2ab+b²）=ab+$\frac{1}{2}$c²，
∴a²+b²=c²；

（2）如图所示，可以证明a²+b²=c²．

验证：大正方形的面积=4×$\frac{1}{2}$ab+（b-a）²
大正方形的面积=c²，
∴4×$\frac{1}{2}$ab+（b-a）²=c²，
整理得：a²+b²=c²．

点评 本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．