Question

15．已知：菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，CE∥BD．
（1）若AC=8，BD=6，求AB的长；
（2）求证：四边形OBEC为矩形．

Answer 1

分析 （1）利用菱形对角线互相垂直平分和勾股定理计算可得AB的长；
（2）易证四边形OCBD是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可证明四边形OBEC为矩形

解答 （1）解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC，BO=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
（2）∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCBD为平行四边形，
∵∠BOC=90°，
∴四边形OBCE为矩形．

点评 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质以及矩形的性质，熟记各种特殊四边形的判定方法和性质以及勾股定理是解题的关键．