Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线．BE⊥CD交CA于点E，交CD于点F．
（1）求证：$\frac{EF}{BF}$=$\frac{CE}{CA}$；
（2）如果CE=4cm，AE=2cm，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）过A作AG∥BE交CD的延长线于G，于是得到∠GAD=∠FBD，推出△ADG≌△BFD，求得AG=BF，由△CEF∽△CAG，即可得到结论；
（2）由$\frac{EF}{BF}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，设EF=2k，AC=3k，通过△ECF∽△BCF，得到$\frac{EF}{CF}=\frac{CF}{BF}$，根据勾股定理得到CE²=EF²+CF²，求出CF=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，AG=BF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，然后根据勾股定理得到CG=$\sqrt{A{C}^{2}-A{G}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{15}}{5}$，即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AG∥BE交CD的延长线于G，
∴∠GAD=∠FBD，
在△ACD与△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠FBD}\\{AD=BD}\\{∠ADG=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BFD，
∴AG=BF，
∵AG∥BE，
∴△CEF∽△CAG，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{CE}{CA}$，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{CE}{CA}$；

（2）∵$\frac{EF}{BF}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
设EF=2k，AC=3k，
∵∠ACB=90°，BE⊥CD交CA于点E，
∴∠ECF+∠BCF=∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ECF=∠CBF，
∴△ECF∽△BCF，
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{CF}{BF}$，
∴CF=$\sqrt{6}$k，
∵CE²=EF²+CF²，
即16=4k²+6k²，
∴k=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴CF=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，AG=BF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴CG=$\sqrt{A{C}^{2}-A{G}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{15}}{5}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$GF=$\frac{1}{2}$（CG-CF）=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．