Question

4．已知圆O的直径AB=4，半径OC⊥AB，在射线OB上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则CD=$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 利用点D在OB上，得到BD=1，然后分类讨论：当点在⊙O外，OD=OB+BD=3，在Rt△COD中，利用勾股定理可计算出CD=$\sqrt{13}$；当点在⊙O内，OD′=OB-BD′=1，利用勾股定理可计算出CD′=$\sqrt{5}$，于是得到CD的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．

解答 解：如图，∵直径AB=4，
∴OB=2，
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∵点D与圆O上各点所连接线段最短为1，
∴BD=1，
当点在⊙O外，OD=OB+BD=2+1=3，
在Rt△COD中，CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
当点在⊙O内，OD′=OB-BD′=2-1=1，
在Rt△COD中，CD′=$\sqrt{O{C}^{2}+OD{′}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CD的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．
故答案为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了勾股定理．