Question

【题目】已知，四边形中，是对角线上一点，,以为直径的与边相切于点.点在上，连接.

（1）求证：；

（2）若，求证：四边形是菱形.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；

（2）先判断出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可．

试题解析：（1）如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，

∵DE=EC，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠COD，

∴DE=OE；

（2）∵OD=OE，

∴OD=DE=OE，

∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，

∴∠2=∠1=30°，

∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，

∴OA=OB=DE=EC，

∵AB∥CD，

∴∠4=∠1，

∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，

∴△ABO≌△CDE，

∴AB=CD，

∴四边形A∴D是平行四边形，

∴∠DAE=∠DOE=30°，

∴∠1=∠DAE，

∴CD=AD，

∴ABCD是菱形．