Question

1．已知等腰△ABC，AB=AC，D为AB的中点，点E在BC上，BE=$\frac{1}{4}$BC，AE、CD交于点F．
（1）如图1，求证：EF=$\frac{3}{4}$AF；
（2）如图2，当∠BAC=120°时将∠BCA沿CB翻折，将∠AFC沿FC翻折，翻折后边CA、FA交点于M，FM交BC于点N，请你探究线段EN、MF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由于要证的结论是一个线段比例关系，因此可以过A点作平行线，根据平行线成比例或相似得出相关比例等式，再适当运算即可得证．
（2）由于告诉了特殊角120度，各线段位置固定，只要设定一条线段，其也所有线段可解，因此可考虑用代数法计算出或表示出EN和MF，那么它们的数量关系自然明了．

解答 解：（1）过点A作AG∥BC，交CD的延长线于点G，如图1：

∵AG∥BC，
∴∠DGA=∠DCB，∠DAG=∠DBC，
在△DAG与△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGA=∠DCB}\\{∠DAG=∠DBC}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△DBC（AAS），
∴AG=BC，
又∵AG∥BC，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AG}{EC}$，
∵BE=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{BC}{EC}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AG}{EC}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{4}{3}$，
即EF=$\frac{3}{4}$AF．

（2）如图2，过点A作AP⊥BC于P，过点C作CH⊥BA于H，延长MF交AB于K，过点D作DR∥BC交AE于R，

∵AB=AC，∠BAC=120，
∴CP=BP，∠ABC=∠ACB=30°，
设AP=2，则AB=AC=4，BP=CP=2$\sqrt{3}$，
∵∠BAC=120°，
∴∠HAC=60°，
∴AH=2，CH=2$\sqrt{3}$，
∵D为AB中点，
∴AD=BD=2，
∵BE=$\frac{1}{4}$BC，BP=$\frac{1}{2}$BC，
∴EP=BE=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$AP=1，CE=3$\sqrt{3}$，
∴CD=2$\sqrt{7}$，
∴$\frac{EP}{AP}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{CH}{DH}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CDH=∠EAP，
∴∠AFC=∠CDH+∠BAE=∠EAP+∠BAE=60°，
根据翻折性质可知∠MFC=∠AFC=60°，∠MCB=∠ACB=30°，
∴∠ACM=60°，
∴A、F、M、C四点共圆，（如果不用四点共圆，只需截取FL=FA，证△CLF与△CAF全等即可同样得出CM=CA）
∵∠MFC=∠AFC，
∴CM=AC=4，
∵DR∥BC，D为AB中点，
∴DR=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{6}$CE，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{DR}{CE}=\frac{1}{6}$，
∵∠ABC=∠MCB=30°，
∴AB∥CM，
∴$\frac{DK}{CM}=\frac{DF}{CF}=\frac{1}{6}$，
∴DK=$\frac{1}{6}$CM=$\frac{2}{3}$，DF=$\frac{2}{7}$$\sqrt{7}$，CF=$\frac{12}{7}$$\sqrt{7}$，
∴BK=BD+DK=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{BN}{CN}=\frac{BK}{CM}=\frac{2}{3}$，
∴BN=$\frac{2}{5}$BC=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
∴EN=BN-BE=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
过点M作MQ⊥CF于点Q，
设FQ=x，则FM=2x，MQ=$\sqrt{3}$x，CQ=$\frac{12}{7}$$\sqrt{7}$-x，
∴（$\sqrt{3}$x）²+（$\frac{12}{7}$$\sqrt{7}$-x）²=16，
即：7x²-6$\sqrt{7}$x+8=0，解得：x=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$（舍）或x=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$
∴MF=2x=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$
∴$\frac{MF}{EN}=\frac{40\sqrt{21}}{63}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定及性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解三角形、勾股定理等众多知识点，综合性很强．巧妙作出辅助线、确定∠AFC=60°、正确计算出各线段长度是关键．