Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？(要有必要的过程)

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，

∴出发2秒后，则CP=2，

∵∠C=90°，

∴PB=

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+ =7+

（2）解：①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，

此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；

②若P在AB边上时，有三种情况：

i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，

所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，

作CD⊥AB于点D，

在Rt△PCD中，PD=1.8，

所以BP=2PD=3.6cm，

所以P运动的路程为9-3.6=5.4cm，

则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；

ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm

则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；

综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形

【解析】（1）根据勾股定理求出AC的长，由出发2秒后，得到CP=2，再根据勾股定理求出PB的长，得到△ABP的周长；（2）①若P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，得到用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm，所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；此题是综合题，难度较大，分类讨论时需认真仔细.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的判定的相关知识，掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．