Question

【题目】如图1,在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F.

（1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）若∠BAE=∠EAF，求证：AE=BE；

（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM=MN（如图2），求证：∠EAF=2∠BAE.

Answer 1

【答案】解：（1）∵菱形ABCD，

∴AB=AD，∠ABE =∠ADF，————————————（2分）

又∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB =∠AFD，————————————————（1分）

∴△ABE≌△ADF. ————————————————（1分）

（2）∵菱形ABCD，

∴AB‖CD，

又∵AF⊥CD，

∴AF⊥AB，

∴∠BAF=,又∠BAE=∠EAF，

∴∠BAE=，∠AEB=,———————————（2分）

∴∠B==∠BAE，———————————————（1分）

∴AE="BE." ———————————————————（1分）

(3) ∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE =∠DAF，AB=AD，

∴∠ABM =∠ADN，

∴△ABM≌△ADN.

∴AM =AN，———————————————————（1分）

又∵∠BAN=, BM=MN，

∴AM=MN=AN，

∴∠MAN=,——————————————————（1分）

∴∠MAB=,——————————————————（1分）

∴∠EAF=2∠BAE. ————————————————（1分）

【解析】略