【题目】(本题12分)如图甲,在平面直角坐标系中,直线y=x+8分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O的半径为2
个单位长度.点P为直线y=
x+8上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,且PC⊥PD.
(1)试说明四边形OCPD的形状(要有证明过程);
(2)求点P的坐标;
(3)如图乙,若直线y=x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1:3,请直接写出b的值
(4)向右移动⊙O(圆心O始终保持在x轴上),试求出当⊙O与直线y=x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围。
【答案】(1)四边形OCPD为正方形;
(2)求点P的坐标为(2,6)或(6,2);
(3)b的值为;
(4)m的取值范围为.(直接写出答案)
【解析】
试题(1)根据切线长的性质定理可以得出PC=PD,PC⊥OC, PC⊥OD,再由PC⊥PD可以的证.
(2)设出直线y=x+8的点P(m,-m+8),根据切线长的性质和正方形的性质,有勾股定理的出m的值.
(3)分两种情形,直线y=-x+b将圆周分成两段弧长之比为1:3,可知被割得的弦所对的圆心角为90°,又直线y=-x+b与坐标轴的夹角为45°,如图乙可知,分两种情况,可求得结果.
(4)当圆运动到PO等于半径且在直线的左面时,则圆和直线有一个交点;当圆运动到直线的右面时与直线相切的点也有一个,从而能知道他们之间的都可以.
试题解析:(1)四边形OCPD是正方形.证明过程如下:
如图甲,连接OC、OD.
∵PC、PD是⊙O的两条切线,
∴∠PCO=∠PDO=90°.
又∵PC⊥PD,
∴四边形OCPD是矩形.
又∵OC=OD,
∴四边形OCPD是正方形;
(2)如图甲,过P作x轴的垂线,垂足为F,连接OP.
∵PC、PD是⊙O的两条切线,∠CPD=90°,
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°,
∵∠PDO=90°,∠POD=∠OPD=45°,
∴OD=PD=2,OP=2
∵P在直线y=-x+8上,设P(m,-m+8),则OF=m,PF=-m+8,
∵∠PFO=90°,OF2+PF2=PO2,
∴m2+(-m+8)2=(2)2,
解得m=2或6,
∴P的坐标为(2,6)或(6,2);
(3)分两种情形,直线y=-x+b将圆周分成两段弧长之比为1:3,可知被割得的弦所对的圆心角为90°,又直线y=-x+b与坐标轴的夹角为45°,如图乙可知,分两种情况,所以,b的值为2或-2
.
故答案是:2或-2
.
(4)8-2≤m≤8+2
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+1(a<0)的图象过点(1,0)和(x1,0),且﹣2<x1<1,下列5个判断中:①b<0;②b﹣a<0;③a>b﹣1;④a<﹣;⑤2a<b+
,正确的是( )
A. ①③ B. ①②③ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤
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【题目】如图,学习了勾股定理后,数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究:两人在直角边上距直角顶点
米远的点
处同时开始测量,点
为终点.小娟沿
的路径测得所经过的路程是
米,小燕沿
的路径测得所经过的路程也是
米,这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了,小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了.亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗?若能,请你求出来:若不能,请说明理由?
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【题目】如图,大拇指与小指尽量张开时,两指尖的距离称为指距,某项研究表明,一般情况下人的身高h是指距d的一次函数,下表是测得指距与身高的一组数据:
(1)求出h与d之间的函数关系式;
(2)某人身高为196cm,一般情况下他的指距应是多少?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC的度数为( )
A.120°B.108°C.110°D.102°
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【题目】如图,P是等边△ABC的AB边上一点,过P作PE⊥AC于E,在BC的延长线上截取CQ=AP,连接PQ交AC于点D.
(1)若∠Q=28°,求∠EPD的度数;
(2)求证:PD=QD.
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【题目】在2016CCTV英语风采大赛中,娄底市参赛选手表现突出,成绩均不低于60分.为了更好地了解娄底赛区的成绩分布情况,随机抽取利了其中200名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行了整理,得到如图的两幅不完整的统计图表:
根据所给信息,解答下列问题:
(1)在表中的频数分布表中,m= ,n= .
成绩 | 频数 | 频率 |
60≤x<70 | 60 | 0.30 |
70≤x<80 | m | 0.40 |
80≤x<90 | 40 | n |
90≤x≤100 | 20 | 0.10 |
(2)请补全图中的频数分布直方图.
(3)按规定,成绩在80分以上(包括80分)的选手进入决赛.若娄底市共有4000人参数,请估计约有多少人进入决赛?
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【题目】如图,△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D为AB边上的一点,
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)若DE=13,BD=12,求线段AB的长.
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【题目】如图,是规格为8×8的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作:
(1)在网格中建立平面直角坐标系,使A点坐标为(-2,4),B点坐标为(-4,2);
(2)在(1)的前提下,在第二象限内的格点上找一点C,使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形,且腰长是无理数,则C点的坐标是;
(3)求((2)中△ABC的周长(结果保留根号);
(4)画出((2)中△ABC关于y轴对称的△A'B'C'.
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