Question

3．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x²+mx+2的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交交于点B，且OA：OB=1：2．设此二次函数图象的顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；
（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B₁，顶点为D₁．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，由题意可知，C（3，1），作CG∥OB交抛物线于G．x=3时，y=2，推出点G坐标（3，2），所以把抛物线向下平移1个单位即可经过点C，由此即可解决问题．
（3）如图2中，设P（m，m²-3m+1），由题意BB₁=DD₁，△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，可得m=2|$\frac{3}{2}$-m|，解方程即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²+mx+2的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交交于点B，且OA：OB=1：2，
∴B（0，2），A（1，0），
把A（1，0）代入y=x²+mx+2得m=-3，
∴二次函数的解析式为y=x²-3x+2．

（2）如图1中，

由题意可知，C（3，1），作CG∥OB交抛物线于G．
x=3时，y=2，
∴点G坐标（3，2），
∴把抛物线向下平移1个单位即可经过点C，
∴平移后的抛物线的解析式为y=x²-3x+1．

（3）如图2中，设P（m，m²-3m+1），

∵BB₁=DD₁，△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，
∴m=2|$\frac{3}{2}$-m|，
∴m=1或3，
∴点P坐标为（1，-1）或（3，1）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、旋转变换．平移变换、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊点解决问题，学会用方程的思想思考问题，所以中考压轴题．