Question

已知抛物线y=x²-kx+k-5．
（1）求证：不论k为何实数，此抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B，
若P为x轴上一点，且△PAB为等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）证明：∵△=k²-4k+20=（k-2）²+16＞0，
∴不论k为何实数，此抛物线与x轴一定有两个不同的交点．

（2）∵对称轴为x=1，
∴=1，
∴k=2，
∴所求函数的解析式为y=x²-2x-3．

（3）∵抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为（1，-4）
∴-=1，=-4
∵a=1
∴b=-2，c=-3
∴y=x²-2x-3
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，即与x轴的交点为（-1，0），（3，0）
当x=0时，y=-3，即与y轴的交点坐标为（0，-3）．
如图所示：P为x轴上一点，且△PAB为等腰三角形，点P的坐标为：
（-2，0），（3-，0），（3+，0），（-1，0）．
分析：（1）根据判别式△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，求k的取值范围；
（2）根据对称轴公式：对称轴直线x=-，代入求出即可；
（3）利用△PAB为等腰三角形，分别利用三边对应关系得出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出解析式是解题关键．