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【题目】如图,已知O是以AB为直径的ABC的外接圆,过点A作O的切线交OC的延长线于点D,交BC的延长线于点E.

(1)求证:DAC=DCE;

(2)若AB=2,sinD=,求AE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)由切线的性质可知DAB=90°,由直角所对的圆周为90°可知ACB=90°,根据同角的余角相等可知DAC=B,然后由等腰三角形的性质可知B=OCB,由对顶角的性质可知DCE=OCB,故此可知DAC=DCE;

(2)题意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=,由DAC=DCE,D=D可知DEC∽△DCA,故此可得到DC2=DEAD,故此可求得DE=,于是可求得AE=

试题解析:(1)AD是圆O的切线,∴∠DAB=90°.

AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°.

∵∠DAC+CAB=90°,CAB+ABC=90°,∴∠DAC=B.

OC=OB,∴∠B=OCB.

∵∠DCE=OCB,DAC=DCE.

(2)AB=2,AO=1.

sinD=OD=3,DC=2.

在RtDAO中,由勾股定理得AD==

∵∠DAC=DCE,D=D,∴△DEC∽△DCA,,即

解得:DE=AE=AD﹣DE=

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所以∠D+∠=180°(),
所以BD∥CE().

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