Question

如图，矩形ABCD的对角线交于点O，E是边AD的中点．
（1）OE与AD垂直吗？说明理由；
（2）若AC=10，OE=3，求AD的长度．

Answer 1

（1）解：OE⊥AD，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC，DO=BO，
∴AO=DO，
又∵点E是AD的中点，
∴OE⊥AD．

（2）解：由（1）知OE⊥AD，AO=5，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE===4，
∵E是边AD的中点，
∴AD=2AE=8．
答：AD的长度是8．
分析：（1）根据矩形的性质推出OA=OD，根据三线合一定理求出OE⊥AD即可；
（2）求出AO长，根据勾股定理求出AE，代入AD=2AE求出即可．
点评：本题考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形性质的应用，关键是求出OA=OD和求出AE的长，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．