Question

【试题背景】
已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

【探究1】
（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．
【探究2】
（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为

 

．（直接写出结果即可）
【探究3】
如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、点M．求证：EC=DF．
【拓展】
（4）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，AB⊥k于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、点M，点D、点E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH⊥l于点H．
猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）证明△ABE≌△BCF，即可求得AE的长，然后利用勾股定理即可求解；
（2）过B作BE⊥l于点E，交k于点F，易证△AEB∽△BCF，然后分AB是长和AB是宽两种情况进行讨论求得；
（3）连接AC，证明直角△AEC≌直角△AFD即可证得；
（4）首先证明AM⊥BC，然后证明Rt△ABE≌Rt△ACD，得到∠BAE=∠CAD，则AM⊥ED，即可证得BC∥DE．

解答：解：（1）∵l∥k，BE⊥l，
∴∠BFC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
∵d₁=d₃=1，d₂=2，
∴BE=3，AE=1，
在直角△ABE中，AB=

BE2+AE2

=

32+12

=

10

，
即正方形的边长是

10

；

（2）过B作BE⊥l于点E，反向延长BE交k于点F．
则BE=1，BF=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
∴△AEB∽△BFC，
当AB是较短的边时，如图（a），
AB=

1

2

BC，则AE=

1

2

BF=

3

2

，
在直角△ABE中，AB=

12+( 3 2 )2

=

13

2

；
当AB是长边时，如图（b），
同理可得：BC=

37

2

；
故答案为：

13

2

或

37

2

；

（3）证明：如解答图②，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，
∴AC=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
∵AE⊥k，∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD=90°，
∴直角△AEC≌直角△AFD，
∴EC=DF；

（4）当2＜DH＜4时（C点离l的距离为2，D点必在C点下方），BC∥DE．理由如下：
如图③，当2＜DH＜4时，点D在线段CM上，连接AM．
∵∠ABM=∠ACM=90°，AB=AC，AM=AM，
∴Rt△ABM≌Rt△ACM，
∴∠BAM=∠CAM，
∴AM⊥BC，
又∵AD=AE，AB=AC，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴∠EAM=∠DAM，
∴AM⊥ED．
∴BC∥DE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确构造相似的三角形是关键．