Question

17．阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a²+b²≠c²．
证明：假设a²+b²=c²，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a²+b²≠c²．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x²+2a（1-bx）+2b=0有两个实根x₁和x₂，求证：x₁≠x₂．

Answer 1

分析 假设x₁=x₂，则方程x²-2abx+2a+2b=0有两个相等的实数根，即判别式△=0，据此即可得到a和b的关系，然后根据a、b是正整数从而得到错误的结论，从而证明△=0错误，得到所证的结论．

解答 证明：假设x₁=x₂，
则方程x²-2abx+2a+2b=0有两个相等的实数根，
∴△=4a²b²-8a-8b=4a²b²-4（2a+2b）=0，
则a²b²=2a+2b，a²b²=2（a+b）．
∵a、b是正整数，
∴2（a+b）是偶数，
∴a²b²也是偶数，
又∵a、b为正整数，
∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数．
∴a²b²是4的倍数．
∴a+b是2的倍数．
∵a是2的倍数，a²b²=2（a+b），
∴$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{2}$=a+b，$\frac{ab}{2}$=$\frac{a+b}{ab}$，
$\frac{ab}{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．
∵a、b是偶数，
∴$\frac{ab}{2}$位正偶数，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$为正整数．
又∵a、b位偶数，
∴a=b=2，
此时，a²b²=16，而2（a+b）=8，
a²b²≠2（a+b）与事实不符．
∴△≠0，即x₁≠x₂．

点评 本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．