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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是上半圆的弦,过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E,过点A作切线DE的垂线,垂足为D,且与⊙O交于点F,设∠DAC,∠CEA的度数分别是α,β.

(1)用含α的代数式表示β,并直接写出α的取值范围;

(2)连接OF与AC交于点O′,当点O′是AC的中点时,求α,β的值.

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】试题分析:(1)首先证明∠DAE=2α,在RtADE中,根据两锐角互余,可知2α+β=90°,(0°<α<45°);

(2)连接OFACO′,连接CF.只要证明四边形AFCO是菱形,推出AFO是等边三角形即可解决问题;

试题解析:(1)连接OC.

DE是⊙O的切线,

OCDE,

ADDE,

ADOC,

∴∠DAC=ACO,

OA=OC,

∴∠OCA=OAC,

∴∠DAE=2α,

∵∠D=90°

∴∠DAE+E=90°

2α+β=90°(0°<α<45°).

(2)连接OFACO′,连接CF.

AO′=CO′,

ACOF,

FA=FC,

∴∠FAC=FCA=CAO,

CFOA,AFOC,

∴四边形AFCO是平行四边形,

OA=OC,

∴四边形AFCO是菱形,

AF=AO=OF,

∴△AOF是等边三角形,

∴∠FAO=2α=60°

α=30°

2α+β=90°

β=30°

α=β=30°.

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