Question

如图所示，在△ABC中，∠ABC=22.5°，AB的中垂线交BC于点D，DF⊥AC于F，作AE⊥BC于E，交DF于G．
（1）求证：AE=DE；　
（2）连接CG，求∠ECG的度数．

Answer 1

（1）证明：连AD，如图，
∵AB的中垂线交BC于点D，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∴∠ADE=2∠B=2×22.5°=45°，
而AE⊥BC，
∴△ADE为直角三角形，
∴AE=DE；
（2）解：∵DF⊥AC，AE⊥DC，
∴∠CDF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠EDG，
在△DEG和△AEC中
，
∴△DEG≌△AEC，
∴EG=EC，
∵∠CEG=90°，
∴∠ECG=45°．
分析：（1）连AD，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，由等腰三角形的性质∠DAB=∠B，利用三角形外角性质有∠ADE=2∠B=2×22.5°=45°，而AE⊥BC，易得△ADE为直角三角形，即可得到结论；
（2）由于DF⊥AC，AE⊥DC，利用等角的余角相等得到∠CAE=∠EDG，根据全等三角形的判定方法易证得△DEG≌△AEC，则有EG=EC，而∠CEG=90°，于是有∠ECG=45°．
点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离线段．也考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．