Question

【题目】如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．
（1）求AD的长；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？

Answer 1

【答案】
（1）解：由折叠可得，CE=CB=AO=10，而CO=AB=8，

∴OE=6，

∴AE=10﹣6=4，

设AD=x，则DB=DE=8﹣x，

Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，

∴x2+42=（8﹣x）2，

解得x=3，

∴AD=3；

（2）解：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5，

∵CQ=t，EP=2t，

∴PC=10﹣2t，

① 当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，

∴ = ，即 = ，

解得t= ；

②当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，

∴ = ，即 = ，

解得t= ，

综上所述，当t= 或 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．

【解析】（1）先设AD=x，则DB=DE=8﹣x，在Rt△ADE中，根据勾股定理可得AD2+AE2=DE2 ， 据此列出方程x2+42=（8﹣x）2 ， 求得x=3，进而得到AD=3；（2）分两种情况进行讨论：①当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，②当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，分别根据相似三角形的性质，得出关于t的方程，求得t的值．
【考点精析】关于本题考查的矩形的性质和翻折变换（折叠问题），需要了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能得出正确答案．