Question

9．如图，已知直线l：y=-$\frac{1}{2}$x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x+1与y轴交于点C，设直线l与直线l₁的交点为E
（1）如图1，若点E的横坐标为2，求点A的坐标；
（2）在（1）的前提下，D（a，0）为x轴上的一点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线l₁于点M、N，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求a的值；
（3）如图2，设直线l与直线l₂：y=-$\frac{1}{3}$x-3的交点为F，问是否存在点B，使BE=BF，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点E的横坐标结合一次函数图象上点的坐标特征即可找出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出直线l的解析式，令y=0求出x的值，即可得出点A的坐标；
（2）根据点D的横坐标为a利用一次函数图象上点的坐标特征即可找出点M、N的坐标，从而得出线段MN的长度，分别令直线l、l₁的解析式中x=0求出点B、C的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）假设存在，联立直线l、l₁的解析式成方程组，解方程组求出点E的坐标，联立直线l、l₂的解析式成方程组，解方程组求出点F的坐标，结合BE=BF即可得出关于b的一元一次方程，解方程求出b值，此题得解．

解答 解：（1）∵点E在直线l₁上，且点E的横坐标为2，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在直线l上，
∴2=-$\frac{1}{2}$×2+b，解得：b=3，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
当y=0时，有-$\frac{1}{2}$x+3=0，
解得：x=6，
∴点A的坐标为（6，0）．
（2）依照题意画出图形，如图3所示．
当x=a时，y_M=3-$\frac{1}{2}$a，y_N=1+$\frac{1}{2}$a，
∴MN=|1+$\frac{1}{2}$a-（3-$\frac{1}{2}$a）|=|a-2|．
当x=0时，y_B=3，y_C=1，
∴BC=3-1=2．
∵BC∥MN，
∴当MN=BC=2时，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
此时|a-2|=2，
解得：a=4或a=0（舍去）．
∴当以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，a的值为4．
（3）假设存在．
联立直线l、l₁的解析式成方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=b-1}\\{y=\frac{b+1}{2}}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（b-1，$\frac{b+1}{2}$）；
联立直线l、l₂的解析式成方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=-\frac{1}{3}x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=18+6b}\\{y=-9-2b}\end{array}\right.$，
∴点F的坐标为（18+6b，-9-2b）．
∵BE=BF，且E、F均在直线l上，
∴b-1=-18-6b，解得：b=-$\frac{17}{7}$，
此时直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{17}{7}$．
故存在点B，使BE=BF，此时直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{17}{7}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．