Question

如图，已知反比例函数y=

2

x

（x＞0）的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点B的横坐标为4，点C的坐标为（1，

1

2

），连接AC、BC，AC平行于y轴．
（1）求一次函数的解析式；
（2）现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A、B之间的部分滑动（不与A、B重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AB交于M、N两点，试判断P点在滑动过程中，△PMN是否与△CAB总相似，试说明判断理由；
（3）在（2）的条件下，请探究是否存在点P，使得MN：AB=1：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由AC平行于y轴得A点的横坐标为1，根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定A点坐标为（1，2），B点坐标为（4，

1

2

），然后利用待定系数法求
一次函数解析式；
（2）由于点C的坐标为（1，

1

2

），点C的坐标为（1，

1

2

），则可判断BC∥x轴，而PM∥y轴，PN∥x轴，所以PN∥BC，PM∥AC，则∠PMN=∠CAB，∠ANM=∠ABC，根据相似三角形的判定即可得到△PMN∽△CAB；
（3）设P点坐标为（a，

2

a

），把y=

2

a

代入y=-

1

2

x+

5

2

可得到N点坐标为（5-

4

a

，

2

a

），则NP=5-

4

a

-a，由于△PMN∽△CAB，利用相似比得到5-

4

a

-a=1，解得a=2，所以P点坐标为（2，1）．

解答：解：（1）∵点C的坐标为（1，

1

2

），AC平行于y轴，
∴A点的横坐标为1，
把x=1代入y=

2

x

得y=2，
∴A点坐标为（1，2），
把x=4代入y=

2

x

得y=

1

2

，
∴B点坐标为（4，

1

2

），
把A（1，2），B（4，

1

2

）代入y=kx+b得

k+b=2 4k+b= 1 2

，解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴一次函数解析式为y=-

1

2

x+

5

2

；
（2）△PMN与△CAB总相似．理由如下：
∵点C的坐标为（1，

1

2

），点C的坐标为（1，

1

2

），
∴BC∥x轴，
∵PM∥y轴，PN∥x轴，
∴PN∥BC，PM∥AC，
∴∠PMN=∠CAB，∠ANM=∠ABC，
∴△PMN∽△CAB；
（3）存在．
设P点坐标为（a，

2

a

），
把y=

2

a

代入y=-

1

2

x+

5

2

得-

1

2

x+

5

2

=

2

a

，即得x=5-

4

a

，
∴N点坐标为（5-

4

a

，

2

a

），
∴NP=5-

4

a

-a，
∵△PMN∽△CAB，
∴

MN

AB

=

NP

BC

，
而MN：AB=1：3，BC=3，
∴5-

4

a

-a=1，
整理得a²-4a+4=0，解得a₁=a₂=2，
∴P点坐标为（2，1）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐标的关系和相似三角形的判定与性质；会运用待定系数法求函数的解析式．