Question

3．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的表达式；
（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；
（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）设点M坐标为（m，-m²+2m+3），分别表示出ME=|-m²+2m+3|、MN=2m-2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；
（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，-a²+2a+3），则点N（2-a，-a²+2a+3）、点D（a，-a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），
∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0-3），
解得：a=-1，
∴所求抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
如图1，设点M坐标为（m，-m²+2m+3），
∴ME=|-m²+2m+3|，
∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，
∴点N的横坐标为2-m，
∴MN=2m-2，
∵四边形MNFE为正方形，
∴ME=MN，
∴|-m²+2m+3|=2m-2，
分两种情况：
①当-m²+2m+3=2m-2时，解得：m₁=$\sqrt{5}$、m₂=-$\sqrt{5}$（不符合题意，舍去），
当m=$\sqrt{5}$时，正方形的面积为（2$\sqrt{5}$-2）²=24-8$\sqrt{5}$；
②当-m²+2m+3=2-2m时，解得：m₃=2+$\sqrt{5}$，m₄=2-$\sqrt{5}$（不符合题意，舍去），
当m=2+$\sqrt{5}$时，正方形的面积为[2（2+$\sqrt{5}$）-2]²=24+8$\sqrt{5}$；
综上所述，正方形的面积为24+8$\sqrt{5}$或24-8$\sqrt{5}$．

（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，
把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的函数表达式为y=-x+3，
设点M的坐标为（a，-a²+2a+3），则点N（2-a，-a²+2a+3），点D（a，-a+3），
①点M在对称轴右侧，即a＞1，
则|-a+3-（-a²+2a+3）|=a-（2-a），即|a²-3a|=2a-2，
若a²-3a≥0，即a≤0或a≥3，a²-3a=2a-2，
解得：a=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$或a=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$＜1（舍去）；
若a²-3a＜0，即0≤a≤3，a²-3a=2-2a，
解得：a=-1（舍去）或a=2；
②点M在对称轴右侧，即a＜1，
则|-a+3-（-a²+2a+3）|=2-a-a，即|a²-3a|=2-2a，
若a²-3a≥0，即a≤0或a≥3，a²-3a=2-2a，
解得：a=-1或a=2（舍）；
若a²-3a＜0，即0≤a≤3，a²-3a=2a-2，
解得：a=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$（舍去）或a=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$；
综上，点M的横坐标为$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$、2、-1、$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程是解题的关键．