Question

15．如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 当正方形ABCD的顶点A、B、C、D在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到a，当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，
∴AC=A′D=$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，
则△AEB是等腰三角形，四边形AFGD是等腰梯形，
过F，G分别作FH⊥AD，GN⊥AD，
设AE=x，则AF=1-x，
∴AB=$\sqrt{3}$x，AH=DN=$\frac{1}{2}$（1-x），
∴AD=1+（1-x），
∴$\sqrt{3}$x=1+（1-x），
∴x=$\sqrt{3}$-1，
∴AB=3-$\sqrt{3}$，
∴正方形边长a的取值范围是：$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤3-$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键．