如图1.矩形ABCD中.AB=2.AD=4.对角线AC.BD相交于E.过点E的直线与直线AD.BC分别相交于点H.G．(1)直线GH在旋转过程中.①△AEH与△CEG的位置关系是: .②线段AH与CG的大小关系是: ,(2)如图2.以AB为直径作⊙O.若直线GH在旋转过程中与⊙O相切时.求线段AH的长度,的结论下.判断以GH为直径的圆与直线AB的位置关系．请直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC、BD相交于E，过点E的直线与直线AD、BC分别相交于点H、G．
（1）直线GH在旋转过程中，①△AEH与△CEG的位置关系是：

，
②线段AH与CG的大小关系是：

；
（2）如图2，以AB为直径作⊙O，若直线GH在旋转过程中与⊙O相切时，求线段AH的长度；
（3）在（2）的结论下，判断以GH为直径的圆与直线AB的位置关系．请直接写出结论．

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,矩形的性质,梯形中位线定理,切线的判定与性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）利用矩形的性质，易证△AHE≌△CGE，就可解决问题．
（2）连接OH、OE、OG，如图2．根据三角形中位线定理和梯形中位线定理可得OE=

AD=

（AH+BG），则有AH+BG=AD．易证AD、BC都是⊙O的切线，根据切线长定理可得HA=HF，∠AHO=∠FHO，GB=GF，∠BGO=∠FGO．然后根据平行线的性质可得∠AHG+∠BGH=180°，由此可证到∠AHO=∠BOG，从而可得△HAO∽△OBG，然后运用相似三角形的性质即可求出线段AH的长度．
（3）由（2）已得：AH∥OE，HA=HF，GB=GF，OE=

（AH+BG），从而可得∠BOE=∠BAD=90°即EO⊥AB，OE=

（AH+BG）=

（HF+FG）=

HG，由此可得以GH为直径的圆与直线AB相切．

解答：解：（1）如图1，

∵四边形ABCD是矩形，
∴EA=EC，AD∥BC，
∴∠HAE=∠GCE．
在△AHE和△CGE中，

∠HAE=∠GCE

AE=CE

∠AEH=∠CEG

，
∴△AHE≌△CGE（ASA），
∴△AEH与△CEG关于点E成中心对称，AH=CG，EH=EG．
故答案为：①△AEH与△CEG关于点E成中心对称，②AH=CG．

（2）法1：连接OH、OE、OG，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=90°，BE=DE．
∵BO=AO，BE=DE，
∴OE=

AD．
∵AD∥BC，BO=AO，HE=GE，
∴OE=

（AH+BG）=

AD，即AH+BG=AD=4．

∵AB为⊙O的直径，
∴AD、BC都是⊙O的切线．
∵GH与⊙O相切，
∴HA=HF，∠AHO=∠FHO，GB=GF，∠BGO=∠FGO．
∵AD∥BC，
∴∠AHG+∠BGH=180°，
∴2∠AHO+2∠BGO=180°，
∴∠AHO+∠BGO=90°．
∵∠BOG+∠BGO=90°，
∴∠AHO=∠BOG．
又∵∠HAO=∠OBC=90°，
∴△HAO∽△OBG，
∴

，即AH•BG=AO•BO，
∴AH•（4-AH）=1×1=1，
解得：AH=2+

或AH=2-

．
∴线段AH的长度为2+

或2-

．
法2：过点G作GP⊥AD于点P，如图2，
则有PD=GC=AH．
根据切线长定理可得：AH=FH，GF=GB．
设AH=x，则GC=PD=x，BG=AP=4-x，GH=FH+FG=x+4-x=4．
在Rt△GPH中，
∵GH=4，GP=AB=2，

∴PH=

42-22

，
当点H在点P的左边时，
则有PH=4-2x=2

，
解得：x=2-

；
当点H在点P的右边时，
则有PH=2x-4=2

，
解得：x=2+

，
综上所述：线段AH的长度为2+

或2-

．

（3）以GH为直径的圆与直线AB相切．
理由：∵AH∥OE，
∴∠BOE=∠BAD=90°，即EO⊥AB．
∵HA=HF，GB=GF，
∴OE=

（AH+BG）=

（HF+FG）=

HG，
∴以GH为直径的圆与直线AB相切．

点评：本题主要考查了切线的判定与性质、切线长定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、梯形中位线定理等知识，综合性比较强，而证到AH+BG=AD及△HAO∽△OBG是解决第（2）小题的关键．

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