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【题目】感知:如图1,AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.

探究:如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.

应用:如图3,四边形ABCD中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,则AB﹣AC= (用含a的代数式表示)

【答案】探究:证明见解析;应用:a.

【解析】

试题分析:探究:欲证明DB=DC,只要证明△DFC≌△DEB即可.

应用:先证明△DFC≌△DEB,再证明△ADF≌△ADE,结合BD=EB即可解决问题.

试题解析:探究:

证明:如图②中,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD,在△DFC和△DEB中,∵∠F=DEB,FCD=B,DF=DB,∴△DFC≌△DEB,∴DC=DB.

应用:解;如图③连接AD、DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD,在△DFC和△DEB中,∵∠F=DEB,FCD=B,DC=DB,∴△DFC≌△DEB,∴DF=DE,CF=BE,在RT△ADF和RT△ADE中,AD=AD,DE=DF,∴△ADF≌△ADE,∴AF=AE,∴AB﹣AC=(AE+BE)﹣(AF﹣CF)=2BE,在RT△DEB中,∵∠DEB=90°,∠B=∠EDB=45°,BD=a,∴BE=a,∴AB﹣AC=a.故答案为:a.

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