Question

如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠。点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积。

Answer 1

解：连接OD．

根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，                           
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，                                                    
∴OC=OB•tan∠CBO=6×= ，
∴S_△BDC=S_△OBC=×OB×OC=×6×2=6，S_扇形AOB=π×6²=9π，=π×6=3π，
∴整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+=AC+OC+OB+=OA+OB+=6+6+3π=12+3π；
整个阴影部分的面积为：S_扇形AOB﹣S_△BDC﹣S_△OBC=9π﹣6﹣6=9π﹣12．    

解析试题分析：首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又由在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积与的长，继而求得整个阴影部分的周长和面积．
考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算；解直角三角形．
点评：此题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．