Question

（本小题满分10分）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OT，

∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT∥AC，
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT为⊙O的切线
（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四边形OTCE为矩形
∵CT=，
∴OE=，
又∵OA=2，
∴在Rt△OAE中，，
∴AD=2AE=2

解析试题分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；
（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解
考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
点评：本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题