Question

已知不等式mx²-（2m+1）x+m-1≥0．
（1）不等式无解，求m范围；
（2）不等式对一切实数x都成立，求m范围；
（3）不等式有解，求m范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式

专题：

分析：（1）分m=0，m＞0，m＜0三种情况讨论；
（2）m=0时，-x-1≥0，x≤-1，不符合题意；当m＞0，△＜0时，不等式对一切实数x都成立；
（3）分m=0，m＞0，m＜0三种情况讨论．

解答：解：（1）m=0时，-x-1≥0，x≤-1，有解，不成立．
m＜0时，

m＜0 △=(2m+1)2-4m(m-1)＜0

，
解得

m＜0 m＜- 1 8

，
故m的取值范围是：m＜-

1

8

；
m＞0时，方程有解；
综上，m＜-

1

8

．
（2）m=0时，-x-1≥0，x≤-1，不符合题意；
当m＞0，△＜0时，不等式对一切实数x都成立，
此时

m＞0 △=(2m+1)2-4m(m-1)＜0

，
无解；
（3）当m=0时，-x-1≥0，x≤-1，有解；
当m＞0时，恒成立；
当m＜0时、要满足△≥0时成立，即

m＜0 △=(2m+1)2-4m(m-1)≥0

，
-

1

8

≤m＜0．

点评：本题考查了一元二次不等式，结合二次函数与一元二次方程，列出不等式解答，注意分类讨论．