Question

13．已知AD为△ABC外角平分线，且点D在线段BC的垂直平分线上，DE⊥AB，tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，BC=$\sqrt{10}$，AC=3，则AE=2．

Answer 1

分析 如图，作DH⊥CA于H，CM⊥AB于M，A交CD于O．由Rt△BDE≌Rt△CDH，推出AB=CH，∠DBO=∠ACO，由∠DOB=∠AOC，推出∠BDO=∠OAC，推出tan∠CAM=tan∠BDC=$\frac{3}{4}$=$\frac{CM}{AM}$，由AC=3，推出CM=$\frac{9}{5}$，AM=$\frac{12}{5}$，在Rt△BCM中，BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{10-\frac{81}{25}}$=$\frac{13}{5}$，推出CH=AB=5，由Rt△DAE≌Rt△DAH，可得AE=AH=CH-AC=5-3=2．

解答 解：如图，作DH⊥CA于H，CM⊥AB于M，A交CD于O．

∵DE⊥ABAH⊥CA，
∴∠DEB=∠DHC=90°，
∵AD平分∠BAF，
∴DE=DH，
∵点D在线段BC的垂直平分线上
∴DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDH，
∴AB=CH，∠DBO=∠ACO，∵∠DOB=∠AOC，
∴∠BDO=∠OAC，
∴tan∠CAM=tan∠BDC=$\frac{3}{4}$=$\frac{CM}{AM}$，∵AC=3，
∴CM=$\frac{9}{5}$，AM=$\frac{12}{5}$，
在Rt△BCM中，BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{10-\frac{81}{25}}$=$\frac{13}{5}$，
∴CH=AB=5，
∵AD=AD，DE=DH，
∴Rt△DAE≌Rt△DAH，
∴AE=AH=CH-AC=5-3=2．
故答案为2．

点评 本题考查角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质、解直角三角形．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造去对角线解决问题，属于中考常考题型．