Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则$\frac{CE}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，则易证AO⊥BE，△BOF∽△AOB，则sin∠CBE=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{OF}{OB}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

解答 解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F；如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AB是⊙O的切线，
∵AE是⊙O的切线，
∴AE=AB，
在△ABO和△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}&{\;}\\{OB=OE}&{\;}\\{OA=OA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△AEO（SSS），
∴∠OAB=∠OAE，
∴AO⊥BE，
在Rt△AOB中，OB=$\frac{1}{2}$BC=1，
根据勾股定理得：OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠ABO=∠BFO=90°，∠AOB=∠BOF，
∴△BOF∽△AOB，
∴BO：OA=OF：OB，
即1：$\sqrt{10}$=OF：1，
∴OF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∴sin∠CBE=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{OF}{OB}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
即$\frac{CE}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数；本题综合性强，有一定难度．