Question

如果多项式P=2a²-8ab+17b²-16a+4b+1999，那么P的最小值是多小？

Answer 1

解：P=2a²-8ab+17b²-16a+4b+1999，
=（a²-16a+64）+（b²+4b+4）+（a²-8ab+16b²）+1931，
=（a-8）²+（b+2）²+（a-4b）²+1931，
∵（a-8）²和（b+2）²和（a-4b）²均为非负数，
当a-8=0 b+2=0时，P=256+1931=2187
b+2=0 a-4b=0时，P=256+1931=2187
a-4b=0 a-8=0时，P=16+1931=1947
∴P的最小值是1947．
分析：有a的一次项，b的一次项，ab的项，把所给代数式整理为3个完全平方式与一个常数的和的形式，最小值为那个常数．
点评：本题考查了配方法的应用；把所给代数式整理为3个完全平方式和一个常数的和的形式是解决本题的关键．